A véletlen különös jelenség: egyszerre csábít és megzavar, örömforrás is lehet, de félreértések egész sorát is magával hozhatja. A modern, néha túl gyorsan változó világban a biztosra vágyunk, a valószínűségszámítás a hétköznapok egyik rejtett kulisszájává vált. Döntéseink jelentős részét – akár tudjuk, akár nem – esélyek, kockázatok, mintázatok alakítják. Ritkán gondolunk bele, de az, hogy átsétálunk-e a zebrán pirosban, feladunk-e egy lottószelvényt, megbízunk-e egy időjárás-előrejelzésben vagy éppen elfogadunk-e egy gyógyszert, mind-mind valószínűségek mentén formálódik.
Keszthelyi Gabriella PhD matematikus, a BME Sztochasztika Tanszék adjunktusa ezeknek a jelenségeknek a mélyére ás. Kutatásaiban eredetileg dinamikai rendszerekkel és káoszelmélettel foglalkozott, ám az utóbbi években egyre inkább az foglalkoztatja, hogyan érzékelik, értik – vagy éppen értik félre – az emberek a valószínűségeket. A szélesebb közönség a Milyen színű a valószínű? A véletlen matematikája című, meglepetésszerű és jelentős sikert arató könyve révén ismerte meg, amely közérthetően és játékosan mutatja be a véletlen szerepét az életünkben. Interjúnkban arról beszélgettünk, miért olyan nehéz racionálisan viszonyulni a véletlenhez, miért szeretünk hinni a „tuti szisztémákban”, hogyan befolyásolják mindennapi döntéseinket a rosszul felmért esélyek, és hogy a mesterséges intelligencia korában miért válik egyre fontosabbá, hogy ne felejtsünk el gondolkodni.
Engedje meg, hogy egy személyes anekdotával kezdjem! Diákkoromban krupiéként dolgoztam, és a barátok, ismerősök folyamatosan azzal ostromoltak, áruljam el, mi a „tuti” szisztéma. Mindig ugyanazt válaszoltam: Srácok, gondoljátok ezt végig, ez egy paradoxon. Ha létezne univerzális nyerőkulcs, akkor egyrészt nem állnék itt esténként, hanem járnám a világot és annyit nyernék, amennyit nem szégyellek, másrészt a stratégia óhatatlanul is kiszivárogna, és a kaszinó tönkre menne. Szóval én úgy látom, ha a valószínűségszámítás kerül szóba, nagyon erősen keveredik, vagyis inkább konfrontálódik a racionalitás és az emocionális sík. Ön is említi a könyvében, hogy minden héten megveszünk több millió lottószelvényt, holott annak az esélye, hogy telitalálatunk lesz az kb. 1:43 millióhoz. Szóval mi a viszonyunk a véletlenhez vagy a valószínűséghez?
Én úgy látom, hogy az emberek egyszerűen csak szeretnek játszani; a saját anyámat sem tudom lebeszélni arról, hogy lottózzon. Az emberek nem érzékelik, hogy mennyire kicsi esélyük van nyerni. És igen, mivel sokan játszanak, időről-időre nyer valaki; a lottó és igazából bármilyen szerencsejáték úgy van beárazva, hogy a kifizetett nyereménynél a bevétel sokkal, de sokkal több legyen. Ők terveznek azzal, hogy időközönként nyer valaki, de a játékos szempontjából nagyon kicsi az esélye, hogy éppen ő legyen a szerencsés. Tehát időről-időre valaki elviszi a főnyereményt, de annak viszont nagyon-nagyon kicsi az esélye, hogy én leszek az a valaki. És ez az, amit így nem szoktak átlátni, vagy talán nem is akarják. Engem tényleg az érdekel – és ez az igazán izgalmas –, hogy bizonyos események valószínűséget miért nem tudjuk jobban felmérni.
Mi akadályozza az embereket a valószínűség megértésében és megfelelő felmérésében?
Szerintem ez nagyon mélyen bennünk gyökerező, a személyiségünkkel és temperamentumunkkal is összefüggő kérdés, vannak kockázatkereső és kockázatkerülő emberek, és ez még akár helyzetenként is változhat. Én például nem bírok várni, egyszerűen ideges leszek, amíg a zebránál ácsorognom kell, sok bennem az adrenalin, gyorsan akarok haladni és tipikusan alábecsülöm a közúti baleset valószínűségét. Én vagyok az, aki a piroson is átfut, de vannak olyanok is, akik a zöldön is csak óvatosan mernek átmenni. A tapasztalat is nagyon erőteljesen befolyásolhatja, hogy hogyan érzékelem a környezetemet. Van, aki balesetet szenved és utána nem mer egyedül közlekedni, fél, hogy valami baj éri, ugyanakkor van, aki mondjuk deszkázik, pár havonta eltöri valamijét, mégsem válik kockázatkerülővé. Tehát tulajdonképpen a valóság érzékelésünk nagyon változatos, és a legtöbb szituációban nem állunk neki számolni, és nyilvánvalóan nem csak logikus döntéseket fogunk hozni.
De hát nem is tudnánk mindent kiszámolni!
Nem, és nem is kell.
Miként befolyásolja az Ön gondolkodásmódját, hétköznapi viselkedését, a cselekedeteit az, hogy behatóan foglalkozik a valószínűségekkel?
Nagyon intuitív és érzékeny ember vagyok, ami számomra világos. Sokszor teljesen érzelmi alapon hozom meg a döntéseimet. Ennek megvannak az előnyei, és természetesen a hátulütői is, de ez is egyértelmű számomra. Azt gondolom, hogy egy jól működő intuíció azért funkcionál megfelelően, mert jól vannak benne a valószínűségek helyre rakva. Sokak által ismert az a kísérlet, amely során gyerekekkel egyszerű kártyajátékot játszottak, állandó szabályokkal, de valójában szinte lehetetlen volt nyerniük, ám ezt nem mondták meg nekik.
Tehát eleve vesztésre voltak ítélve?
Vesztésre voltak ítélve, igen. Ám miközben játszottak, egy idő után rájöttek, hogy ez egyszerűen nem egy nyerő játék, és módosult a hozzáállásuk. A tapasztalatok alapján mi is így hangoljuk a cselekedeteinket, beépítjük a tapasztalást. Minél intelligensebb valaki ilyen téren, annál hamarabb felismeri az ismétlődő mintázatokat.
Akkor most ott tartunk, hogy bizonyosfajta bölcsességet építünk fel magunkban, és minél több dolgot megélünk, annál tapasztaltabbak vagyunk, szóval mégiscsak az öregeknek van igazuk. Így viszont eljutunk egy olyan szintre, amikor már talán túl óvatosak vagyunk. Inkább térjünk vissza a diákokhoz! Ők hogyan viselkednek?
Egyébként a sok tapasztalat sem feltétlenül jó, nem minden tapasztalat viszi megfelelő irányba a gondolkodásunkat, sőt. Én azt figyeltem meg, hogy amilyen dinamikusan tör előre az AI, úgy kezdenek leszokni az emberek a gondolkodásról. A diákoknál gyakori, hogy mondjuk elakadnak egy feladattal, akkor megkérdezik a mesterséges intelligenciát, merre van a kijárat a labirintusból. Ez lehet hasznos, ha már tényleg rengeteget gondolkodtunk a feladaton és teljesen reménytelen ítéljük, hogy magunktól rájöjjünk. De tipikusan ennél a pontnál sokkal hamarabb nyúlnak az AI-hoz, ami nem egy jó tendencia, mert végső soron ez azt jelenti, hogy kevesebbet gondolkodnak.
De ennek a másik aspektusa, hogy ha kilépek az egyetemről, vagy az egyetem keretei közül, és csak a valószínűségszámítást nézem, ráadásul segítségül hívom az AI-t, akkor az fel tudja turbózni akár a pénzügyi előrejelzéseket, vagy minden más olyan területen tud segíteni, ahol a valószínűségszámításnak szerepe van. Csökkentem a rizikót, fókuszáltabbá teszem a nyerőzónát, egyszóval közelebb jutok az adott probléma megoldásához.
Az AI annyira gyorsan fejlődik, hogy nem tudok teljesen kurrens információt mondani erről, de már most túlságosan nagy szerepe van számos területen.
Ha tisztában vagyok a valószínűségszámítás alapszabályaival, akkor fel tudom használni, mondjuk az üzleti döntéshozatalban?
Persze. Tudunk olyan játékokat kreálni, hogy ha olyasvalakivel játszom, aki nem látja át a valószínűségszámítási axiómákat, akkor én egyértelműen nyerő helyzetbe kerülök, ez nevezzük dutch book-nak („holland szisztéma”). Például tegyük fel, hogy Géza csak 90% valószínűséggel biztos abban, hogy 2 + 2 = 4, akkor ajánlhatunk neki olyan játékot, amely az ő szempontjából fairnek tűnik, mégis biztosan veszíteni fog. Adunk neki 900 Ft-ot, és beleteszünk két golyót egy dobozba, aztán még kettőt. Ha a dobozban 4 golyó van, akkor fizet nekünk egy ezrest, ha 4-től különböző, akkor nem kell fizetnie. Ez az ő szempontjából egy fair játék, de nyilvánvalóan mi fogjuk megkopasztani őt.
És ha például én tőzsdézek, tudok készíteni például egy stratégiát, vagy egy grafikont, amely meghatározza az eladás/vétel ideális időpontját? Ez működhet?
A pénzügyi matematika pontosan ezzel foglalkozik, ami nagyon mélyen a valószínűségszámításban gyökerezik. De a valóság ennél összetettebb: még egy matematikus sem gazdagodott meg ilyen módon, tehát nem lehet univerzálisan kijelenteni, hogy ez a megoldás. A tőzsdei tranzakcióknál különösen nagy fontossága van az információnak: elég egy meggondolatlan nyilatkozat, és máris kialakul egy gyors bizalomvesztés az adott céggel kapcsolatban vagy az egyik exportpiacuk egy katonai puccs miatt összeomlik és sorolhatnám. Ezeket nem lehet előre jelezni, mert nincs róla – nem is lehet – előzetes információnk. A tőzsdei mozgások jó része az információn múlik, ami többnyire nem áll rendelkezésünkre vagy nem teljes egészében. És ami a legnagyobb probléma szokott lenni, hogy sokszor azt sem tudjuk, hogy mennyi és milyen információ hiányzik.
Még húsz másik dolgot is kellett volna tudni, amelyek a háttérben mozgatták a szálakat. Ugyanakkor Ön is említi valahol a román matematikust, aki dagadtra nyerte magát. Ez hogy is volt?
Stefan Mandel román származású matematikus-közgazdász az, aki a XX. század második felében vált híressé azzal, hogy egy saját maga által kidolgozott rendszerrel többször is nyert a lottón. A hatvanas években még Romániában élt, ahol számításai alapján először szerzett kisebb lottónyereményt. Mandel később Ausztráliába emigrált, ott pedig tovább finomította módszerét, amely alapvetően a kombinatorika elveire épült. Úgynevezett „kombinatorikus tömörítést” alkalmazott: kiválasztott egy kisebb számhalmazt, amelyből minden releváns kombinációt előállított, így a teljes kombinációs tér egy részét nagy hatékonysággal fedte le, és az összes lehetséges kombinációnál sokkalta kevesebb szelvényt kellett megvásárolnia. Illetve volt olyan eset, ahol szindikátust alapított és az összes szelvényt felvásárolta, mert a nyeremény magasabb volt, mint az összes szelvény együttes ára. Összesen 14 alkalommal nyert lottó főnyereményt különböző országokban. Sikere azonban felkeltette a hatóságok és a lottótársaságok figyelmét is. Több országban módosították a szabályokat, hogy ellehetetlenítsék a tömeges, automatizált jegyvásárlást, illetve a kombinációk ilyen jellegű lefedését. A története legendává vált: egy ritka példája annak, amikor matematikai gondolkodással, szervezéssel és tőkeösszefogással valaki ténylegesen képes volt szisztematikus előnyhöz jutni egy alapvetően véletlenszerű játékban.
A valószínűségre többféleképpen is lehet tekinteni. Mennyi például annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával hatost dobunk? Ön azt írja, hogy „Egyhatod, ha szabályos a kocka. Egyrészt amiatt, mert hat egyforma oldala van, és mindegyikre egyforma valószínűséggel esik. Másrészt tekinthetünk rá úgy is, hogy egy hosszú dobássorozatnak körülbelül egyhatod része lesz hatos. Ez két fundamentálisan különböző szemléletmód, amit nagyon sokáig nem tudtak összeegyeztetni.” De számomra ez a két megfogalmazás ugyanazt jelenti. Mi a különbség?
Azok a legegyszerűbb esetek, amikor van valami szabályos test, egy kocka, vagy egy pénzérme, vagy bármi, akkor rögtön ki lehet jelenteni, hogy szabályos, ennyi oldala van, akkor a valószínűség az egy/az oldalak száma. De ha valami szabálytalan dologról van szó, tehát teszem azt, mondjuk, van egy kockám, ami megvan cinkelve, ami annyit jelent, hogy nem homogén benne a súlyeloszlás. De nem tudjuk pontosan. Mit tehetünk? Elkezdjük a kockát dobni, nagyon-nagyon sokszor, és megnézzük, hogy kb. milyen arányban jönnek ki különböző oldalak.
De mit jelent az, hogy nagyon sok?
Igen, az a baj ezzel a szemlélettel, hogy valójában egy végtelen hosszú sorozatot kellene górcső alá venni. Ám nem tudunk végtelen hosszú kísérleteket elvégezni, és tovább bonyolódik a helyzet, amikor nem egy ilyen konkrét tárgyról van szó, hanem egy olyan eseményt vizsgálunk, mint egy természeti jelenség, pl. egy földrengés. A gyakoriságfogalom itt már nem lesz elégséges. Lehet vele szemléltetni dolgokat, de nem lehet axiomatizálni vagyis nem lehet úgy megcsinálni, hogy egy komoly matematika épüljön rá.
Gondolom, hogy az időjárás egyébként is nehéz eset. Nagyon sok változótól függ, aminek az egyik következménye, hogy nyáron naponta elhangzik a mondat: „helyenként záporok, zivatarok várhatók.” Úgy tudom, hogy megpróbálták ezeket a gumifogalmakat százalékkal megfeleltetni.
Igen, az 1960-as években a CIA-nál dolgozó Sherman Kent egy egész protokollt fejlesztett ki az ilyen jellegű kifejezések korrekt alkalmazására: certain (biztos) = 100%, almost certain (majdnem biztos) = 93%, probable (valószínű) = 75%. chances about even (esélyek kb. egyenlőek) = 50% probably not (valószínűleg nem) = 30%; almost certainly not (majdnem biztosan nem) = 7% impossible (lehetetlen) = 0%. Konvenciója végül nem épült be a mindennapokba (még a CIA-ba se), pedig használatával sok félreértést lehetne elkerülni. A nyelvnek kettős szerepe van; lehet vele pontosítani a dolgokat, és lehet vele homályosítani is. Úgy tűnik, hogy inkább homályosítjuk a dolgokat, mint élesítjük. Ha én azt mondom: valószínű, hogy valami meg fog történni, illetve, ha te azt mondod, hogy valószínűleg meg fog történni, az két teljesen különböző dolog, szubjektív, ha úgy tetszik.
Hol tudjuk még használni a valószínűségszámítást?
AI, a neurális hálók, kvantum fizika – ezeknél mind kiemelkedő szerepe van a valószínűségszámításnak, és az összes gyógyszerkísérlet, illetve minden olyan fejlesztés esetében, ahol a statisztikai tesztek szerepet kapnak. Tegyük fel, hogy egy vérnyomáscsökkentő gyógyszert fejlesztünk ki. Ha készen vagyunk, le kell tesztelni, hogy működik-e, de nem tesztelhetünk százezer emberen, mint ahogyan három emberen sem. Meg kell határoznunk, hogy mennyi az optimális mintaelemszám, amiből már lehet valamilyen következtetést levonni.
Ebben az optimalizálásban segít a valószínűségszámítási modell, hogy olyan eredményt kapjunk, ami hiteles?
Nem, ez nem egy optimalizálás, ez egy hipotézis vizsgálat. Azt tesszük fel, hogy nincs hatás, hogy nem működik a gyógyszer és aztán azt nézzük, meg hogy mennyi a valószínűsége, hogy a kapott adatainkat (tehát, hogy az alanyoknak lement a vérnyomása, miután beszedték a gyógyszert) csupán a véletlen okozta. Itt nagyon fontos a nagy minta legyen, minél kisebb a minta, annál több bajt okozhat a véletlen.
Meglepte a „Milyen színű a valószínű?” kötet sikere?
Meg vagyok döbbenve és nagyon inspirál, hogy ennyire jó fogadtatása van egy matekos könyvnek. Véleményem szerint ez egy csoda, én fel voltam lelkileg készülve rá, hogy öt példány fog elfogyni, amit a barátaim, a családom fognak megvenni. De azzal szembesültem, hogy van az emberekben arra igény, hogy ilyesfajta tartalmat fogyasszanak és ez nagy örömmel tölt el.
Önt a hallgatói is szeretik, ami az akadémiai világban sajnos nem magától értetődő.
Eléggé megosztó személyiség vagyok, de az évek során az tűnt fel, hogy sok diákom vevő a keresetlenségemre. Azt hiszem, az az erősségem, hogy szeretem az anyag nagy részét, amit tanítok és valahogy meg tudom látni, hol vannak a nehéz pontok, hol akadnak el az emberek, és ezekre a visszajelzésekre reagálva tudom úgy prezentálni a témát, hogy az emészthető legyen. A tanítás egyébként is a szívügyem. Amikor előadást tartok, a kérdések azért is érdekelnek, mert abból lesz nyilvánvaló, hogy kinek mi ment át.
Jellemzően mi nem megy át?
Mindig nagyon meg tudok lepődni, hogy ki, hol akad el, ez nagyon változatos.
Tehetsége válogatja?
Nem! Sok olyan diák van, aki átlagos értelmű, de szerintem ők a legfontosabbak, nekik van leginkább szükségük a tanításra. Ugyanis a legjobbak elvannak tanár és tanóra nélkül is, megtanulják önállóan az anyagot, a leggyengébbek általában lemorzsolódnak, de egy közepes képességű diákból lehet kitűnő szakember, ha jól tanítják és szorgalmas. De sajnos a tradicionális magyar oktatás ezt a réteget teljesen elhanyagolja.
A BME a magyar műszaki felsőoktatás zászlóshajója, de gyakran éri a vád, hogy nem elég gyakorlatorientált.
Én eggyel visszább lépnék. Nem azt mondom, hogy minden egyes dolognak, amit tanítanak a középiskolában, konkrétan látni kellene a hasznosulását, de a jelenleginél sokkal jobb arányra lenne szükség. Ennek sokkal-sokkal több esetben kellene megtörténnie. Nem úgy tanuljuk a dolgokat, hogy azok tényleg használhatóak legyenek a későbbiekben. Talán a kamatos kamat a legjobb példa; kíváncsi vagyok, hogy hányan tudnak ténylegesen kamatos kamatot számolni, pedig középiskolai anyag, és szinte mindenkinek van hitele. A valószínűségről szóló könyvemet már 15-16 éves kortól kezdődően javaslom olvasni, mert addigra meg van hozzá az az alaptudás, amire építve hozzá tudok járulni a téma tényleges megértéséhez és befogadásához.
Mit üzen a jövő mérnökeinek?
Az emberi mivoltunknak nagyon fontos része, hogy tudunk absztrakt módon gondolkozni. Ezt a képességet nem elveszíteni kellene, hanem inkább fejleszteni. Azt üzenem a leendő mérnököknek, hogy ne felejtsenek el gondolkodni!
Rozsnyai Gábor
A nem mindennapi téma szakszerű, ám olvasmányos megközelítése nem csupán közönségsikert hozott, hanem jelölést is az Év Könyve 2025 Irodalmi Közönségdíjra. A Mérnök Újság olvasóinak segítségével most Keszthelyi Gabriella munkája lehet a nyertes az ismeretterjesztő-non-fiction kategóriában. Szavazzon Ön is: https://azevkonyve.hu/konyv/ismeretterjeszto-non-fiction/milyen-szinu-a-valoszinu-a-veletlen-matematikaja
